前言--《漸开线内啮合圆柱齿轮》学科科研概况

内啮合圆柱齿轮目前在我国机械行业应用日增多,主要用途:
1. 作为《NGW行星传动》的零件;
2. 作为《大速比少齿差传动机构》的零件(如一齿差、二齿差等);
3. 作为《三环减速机》、《摆环机》的零件;
4. 作为内啮合齿轮《油泵》的零件;
5. 作为《增速机械》、《风机机组》、《机床及其附件》的零件 等等。
漸开线内啮合圆柱齿轮发明历史久远,但目前国际齿轮标准化组织尚无专业标准,我国更无标准,尚未形
成意见统一的几何参数计算体系,其关键在于内啮合几何干涉问题, 计算工作量大,设计手册的例题常见彼此
转抄,独立创见者少,专家们众说纷纭; 尤其在内啮合齿轮強度校核方面科研薄弱,多数手册空谈理论缺实例,
回避棘手难题,少数书本所举之例,安全系数 ≥3～5以上,贻笑大方,強度课题复杂性更甚于外啮合齿轮。

  内啮合齿轮学科大致可分为:[几何尺寸设计计算]、[切削干涉与啮合干涉校验]、[強度校核]、[強度设计计算]以及这些方面的优化设计等方面。  制定科技标准是件“难度高而名利小”的大事,行內人士常感耗费精力不讨好,毛遂自荐者少。
据说近年制订一项国家标准,仅批拨1.0～1.5万元经费(?！)行外人只看到一项标准数十页文字,工作量类似一篇散文,殊不知执笔者耗费多少年心血！(当代的科技标准还必需附带电脑计算软件,工作量更大了。)
不少学者对此望洋兴叹！有长远眼光的国家科技界领导与极少数企业家, 才肯出大力组织人力物力投入。
《漸开线内啮合圆柱齿轮》即一项制造行业生产急需而尚无国家标准的项目！未知由谁牵头组织实施?
正因为缺国家标准,近年网上出现不少打着 [内啮合齿轮设计计算]旗号的招商广告！谁敢轻信?
本文略去纯理论问题, 专谈设计计算。先议 [几何参数计算体系] 作为基础知识。
  [注]: 关于几何参数优化及強度问题,因牵述内容太多,另撰专文叙述。
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对漸开线内啮合圆柱齿轮[几何尺寸计算体系], 国内专家学者们推导了许多种相互不同的理论公式,打开各种机械设计手册,信手可见 不胜枚举,众说纷纭、百家争鸣。  这必然导致生产实践人员无所适从,难以判断; 更使入门者茫然失措。 这也是引起内啮合齿轮产品质量不稳定 的原因之一。
我们作了多年研究与试验, 最终发现符合生产实践状态的[计算体系],可以定为:

第[1]步 → [df]1 = Mn·Z1－2.0·(han＋Con－ Xn1)·Mn
第[2]步 → [da]2 = df1 ＋2 ·A` ＋2·Con·Mn
        第[3]步 → [df]2 = dao ＋2· Ao2
第[4]步 → [da]1 = df2 －2 ·A` －2·Con·Mn
[da]1— Z1齿轮齿顶园 直徑       [da]2—Z2齿轮齿顶园 直徑
[df]1-- Z1齿轮齿根园 直徑       [df]2—Z2齿轮齿根园 直徑
[da]0— 插齿刀齿顶园直徑         [Ao]2—Z2齿插齿的中心距
[A`] -- 内啮合圆柱齿轮角变位中心距
[Mn] — 模数    [Z]1—Z1齿轮齿数   [Xn]1—Z1齿轮变位系数
[Co]n— 齿轮顶隙系数            [ha]n—齿轮齿顶高系数

以上公式是生产实践中完全可以测量到的实际尺寸,以此定义齿顶园、齿根园的理论公式,
核算中心距 [A`]相互不矛盾。  在此基础上研究几何干涉问题,符合生产实践情况。

我们曾作数千实例运算, 经生产实践考验无误,今先以实例举证:

★ [例证 ] 《机修手册》(P.11-65)  例题    
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[ 己知条件 ]
            中   心   距   [A`]=   114.000
      [Z]1  齿        数            [Z]1 =     15.00
      [Z]2  齿        数            [Z]2 =     60.00
      模              数            [Mn] =    5.0000
      齿  顶  高  系  数           [ha]n =    1.0000
      [Z]1   变 位 系 数           [Xn1] =    0.1100
      [Z]2   变 位 系 数           [Xn2] =    0.4240
      刀      具      值           [ Zo] =   20.0000
      刀   具   顶    圆           [dao] =  113.9000
      变   位   系    数           [ Xo] =    0.0000
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校核验证理论[计算结果]
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.标准中心距 (X=0时)            [Aon] =   112.500000000000
端 面 啮 合 角                [ α`] =   21.9779042917149
法面变位系数之和              [Xn]12 =   0.314440193824856
[Z1]齿 变位系数                [Xn]1 =  0.109999999403954
[Z2]齿 变位系数                [Xn]2 =  0.424440193228809
[Z]1 分 度 圆 直 径            [dt]1 =   75.0000000000000
[Z]2 分 度 圆 直 径            [dt]2 =   300.000000000000
[Z]1 齿 基 圆 直 径            [db]1 =   70.4769456727113
[Z]2 齿 基 圆 直 径            [db]2 =   281.907782690845
.[Z]1 节圆                      [dj]1 =   76.0000000000000
[Z]2 节圆                      [dj]2 =   304.000000000000
插齿啮合角                     [jo2] =   22.8653805227563
[Z2]插齿的中心距               [Ao2] =   101.983055854644
顶隙係数                       [con] =  0.300000011920929
标准齿全齿高(X≡0)               [h] =   11.2500000000000
变位齿全齿高(X≠0)               [h] =   11.8830566205634
[Z1] 齿顶圆压力角             [αa]1 =   35.7740709389910
[Z2] 齿顶圆压力角             [αa]2 =   16.5555377245657
[Z]1 节 圆压力角              [αj]1 =   21.9779042917150
[Z]2 节 圆压力角              [αj]2 =   21.9779042917150
[Zo] 刀具齿顶圆压力角         [jaZo] =   34.4099375025536
[Z]1 外  齿  顶  圆            [da]1 =   86.8661131159571
[Z]1 外  齿  根  圆            [df]1 =   63.0999998748302
[Z]2 内  齿  根  圆            [df]2 =   317.866113235166
[Z]2 内  齿  顶  圆            [da]2 =   294.099999994040
.齿轮不变位时节圆周节           [ p]  =   15.7079648971558
[Z1] 变位节圆周节              [ p]1 =   15.9174045560452
[Z2] 变位节圆周节              [ p]2 =   15.9174045560452
齿轮不变位分度圆齿厚            [Sf] =   7.85398244857788
[Z1] 变位时分度圆齿厚          [Sf]1 =   8.25434968850630
[Z2] 变位时分度圆齿厚          [Sf]2 =   6.30914654313698

            几 何 干 涉 条 件 验 算
      齿廓重叠干涉检验,合格      [G]s =   1.088040
重合度计算结果,合格             [ξ] =   1.771861
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     建立内啮合【几何参数计算体系】的诹意
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列举参数计算体系、公式及运算步骤 如下:
    己知数据:   中心距  Aop  
己知数据:    Mn、Z1、Z2、Xn1、han、β=0  
己知刀具数据:   Zo、 dao、 Xo     作校核设计计算
[关于未知Aop 的设计计算, 大致雷同, 本文从略]

    法面中心距      Mt = Mn / Cos(β)
    端面中心距     Aot = 0.50 ·Mt ·(Z2-Z1)   
端面啮合角 [α`] = Acos [ Aot·cos(20) / Aop ]
     invα` = tan(α`) –α`
暂取压力角α12 =20 (直齿)  invα12  = tan( 20 ) - 20
  ΣXt = 0.5·(Z2-Z1)·(invα-inv α12)/ tan(20)
  法面变位系数之和   ΣXn = ΣXt· Cos(β)         

[777]    中心距[初值] [A]o = Aot ·cos(20) / cos(α`)
       中心距[圆整值] [Ao]p =0.005·int (ww4 /0.005 +0.50 )

[800]         【 分配 [ ΣXn ]、确定[han]  】
      己知  Xn1 = Xn1      作校核设计计算
[关于未知Xn1 的设计计算,  属于[几何优化设计问题],本文从略
                          
[Z1]齿 变位系数 值             [Xn]1  
        Xn2 = Xn1 + ΣXn
    [Z2]齿 变位系数 值            [Xn]2  
      dt1 = Mt·Z1
[Z]1 分 度 圆 直 径            [dt]1
      dt2 = Mt·Z2
[Z]2 分 度 圆 直 径            [dt]2
      db1 = Dt1·cos(20)      
[Z]1 齿 基 圆 直 径            [db]1
      db2 = Dt2·cos(20)
[Z]2 齿 基 圆 直 径            [db]2

[820] [Z]1 节圆   [dj1] = 2.0·Aop·Z1/(Z2-Z1)             
      [Z]2 节圆   [dj2] = 2.0·Aop +dj1
            
[822]     符号----- 令插齿啮合角    [jo2]
     invjo2 = invα12 +2(Xn2-Xo)·tan(20) /(Z2-Zo)        
        ee1 = sqrt (9.0 ·invjo2 +1.0)            
        ee2 = (ee1 -1.0)/1.50
     ee3 = ee2 ··(1.0/3.0)
        ee4 =  sin(ee3) / (invjo2 + ee3)
        ee5 =  Acos( ee4)
     ee6 = sin( ee5) /( invjo2 +ee5)
        jo2 = Acos( ee6 )       
  
[828]   标准中心距 (X=0时)      [Aon] = 0.5·Mn·(Z2- Z1)
        [Z2]插齿中心距   [Ao2] = 0.5Mn·(Z2-Zo)·Cos(20)/Cos(jo2)

[830]   如( Mn>0.5.and.Mn<=4.00)  则  tt1 = 0.25
        如( Mn>4.00.and.Mn<=6.00) 则   tt1 = 0.30
        如( Mn>6.00 )             则   tt1 = 0.25  
               顶隙係数     Cn = tt1

[840]    df1 = dt1 -2.0·(han +Cn-Xn1)·Mn
       [Z]1  齿  根  圆         [df]1
      da2= df1 +2.0·Aop +2.0·Cn·Mn
      [Z]2  齿  顶  圆         [da]2
     df2 = dao +2.00·Ao2
      [Z]2  齿  根  圆         [df]2
         da1 = df2 -2.00·Aop -2.0·Cn·Mn
.[Z]1  齿  顶  圆         [da]1

[850]   标准齿全齿高(X≡0)    [h] = 2.25 ·Mn
      变位齿全齿高(X≠0)    [Σh]              
     [Σh] = 0.50·(da1-df1)
        [Σh] = 0.50·(df2-da2)

[855]     jat1 = Acos (db1/da1)
[Z1] 齿顶圆压力角           [αa]1
      jat2 = Acos (db2/da2)   
[Z2] 齿顶圆压力角           [αa]2
       jaz = Acos[ Mn·Zo ·Cos(20)/dao ]
    [Zo] 刀具齿顶圆压力角       [jaz]
    [p]1 = π·Mn·Cos(20)/ cos(α`)
[Z1] 变位节圆周节           [p]1
     [p]2 = π·Mn·Cos (20)/cos(α`)
[Z2] 节圆周节               [p]2

[860]    [Sf] = π·Mn/ 2
齿轮不变位分度圆齿厚        [Sf]
   Sf1 = 0.5·π·Mn + 2 Xn1·Mn·tan(20)
[Z1] 变位分度圆齿厚        [Sf]1
   Sf2 = 0.5·π·Mn –2 Xn2·Mn·tan(20)
[Z2] 变位分度圆齿厚         [Sf]2

[900]      几 何 干 涉 条 件 验 算
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       db2 = Mn·Z2·Cos(20)/2
       db1 = Mn·Z1·Cos(20)/2
       www = (db2- db1)/cos(α`) -Aop
         如 (www = 0) 则
[A] 检验    [基圆] 数据正确  
         符合 内啮合传动 基本啮合规律
         转→→步序 902           
       否则, 数据有误,不符合内啮合传动
         基本啮合规律 ,  Stop
转→→步序911

[902]     tt6 = (dj2 - dj1)/2.0- aop
       如(tt6 = 0 ) 则
  [B]  检验    [节圆]  数据正确  
         符合 内啮合传动 基本啮合规律
    转→→步序 905
       否则, 数据有误,不符合内啮合传动
       基本啮合规律,   Stop
转→→步序911

[905]     检验  [Gs]  --------------      
       aaa =  da2·da2-da1·da1
       fff =  (aaa-4·Aop·Aop)/(4·Aop·da1)      
       ggg = (aaa+4·Aop·Aop)/(4·Aop·da2)

[906]    如 [ abs(fff) >1.0] 则
        齿廓干涉【Gs】无法运算 Stop
         转→→步序  911
          否则,  转→→步序  915

[908] 如[ abs(ggg) >1.0] 则 ：
     齿廓干涉[Gs] 无法运算
        转→→步序  911
       否则, 转→→步序 915

[911] 原方案, 无法计算  
     修正基本参数   [α`]
     修正基本参数   [Xn]1  
     修正基本参数   [han]
   Stop

       如 [ Zc =Z2-Z1 =1.0 ] 则 可用
.α` = 55.18        
            xn1 = 1.5
     han = 0.75  试算
            转→→步序 777

[915]     xxx  =  Acos( fff)
       yyy  =  Acos( ggg)
         invja1 = tan(jat1) -jat1
      invja2 = tan(jat2) -jat2
      invα` = tan(α`)  -α`
         ww1 = (Z2 -Z1) ·invα`
         ww2 =  Z1·( invja1 + Xxx )
         ww3 = -Z2·( invja2 + Yyy )
          Gs = ww1 + ww2 + ww3

[920]      如( GS >0) 则 ：
    齿廓重叠干涉检验, 合格   [Gs]
       转→→步序 1000
  
[921]    如 [Gs<0 ] 则
    不合格,齿廓重叠干涉      [Gs]
       转→→步序 922

[922]  修正   [han]  =  han·0.995
       修正   [xn1]  =  Xn1·1.005
         转→→步序  777

[1000]   tt1 =  Z1·tan(jat1)-Z1·tan(α`)
       tt2 =  Z2·tan(jat2)-Z2·tan(α`)
          ZhD  =  0.5·(tt1 –tt2)/π
             如(Zhd>0 ) 则
     重合度计算结果--合格     [ξ]
            转→→步序  2000
             如(Zhd<0 ) 则
        重合度,不合格         [ξ]

[1100]     修正   [han]  =  han·1.005
          修正   [xn1]  =  Xn1·0.995
            转→→步序  777      
[2000]             结   束
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按照上列计算步骤,就可得到内啮合齿轮副不发生干涉的、正确的全部几何结构尺寸。
我们还进行过总计【18种】 几何干涉与特性验算:
Z1 齿 顶 宽;    Z2 齿 顶 宽;   径向进刀顶切; 范成展齿顶切;     
Z1 滚齿根切;    Z2 滚齿根切;   径向装配干涉;  齿顶、齿根干涉;   
过渡曲线干涉;   Z1/Z2 齿顶间顶隙量;    Z2/Z1 齿顶间顶隙;
Z1齿顶渐开线干涉;   Z2齿顶渐开线干涉;    节点对顶干涉;  
[df1.da2]尺寸矛盾验算;   [df2.da1]尺寸矛盾验算
受篇幅限止,本文只能删削从略。
十余年来我们计算过数万次内齿轮, 并在工厂作了试制实验。证明上述【几何参数计算体系】
正确、可靠、可在生产中应用。己编制带优化设计计算的详细软件。

最后声明:本文仅仅涉及几何体系, 以上为校核设计计算的程序, 关于 优化几何设计的程序,
和[强度设计] 问题, 非本文主题,从略。该部份内容程序较复杂。目前国内专著不多,非短小论文
所能解决,但[计算体系]是先决前提,否则更乱了。
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