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| 中外科学家发明家丛书：李善兰 （五） | 发布于:2015/09/29 | |
| 官兵畏死作鼠窜，百姓号哭声如雷。 夷人好杀攻用火，飞炮轰击千家灰。” “饱掠十日扬帆去，满城尸骨如山堆， 朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉？” 表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，也表达了他对清 政府临敌不战的强烈不满和他对敌主战的鲜明态度。 1845年前后，李善兰在嘉兴陆费设馆授徒，得以与江浙一带以数学家为 主的学者顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813— 1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖 锥术”的著作 《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。 19世纪40年代，在近代数学尚未自西方传入中国的条件下，李善兰异 军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，从中国传统数学中垛积术和极限 方法的基础上出发，大胆创新，发明尖锥术，具有解析几何的启蒙思想，得 出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函 数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19世纪中国数 学界最重大的成就。 李善兰认为： “元数起于丝发而递增之而造成则成平尖锥； “平方数起于丝发而渐增之而迭之则成立尖锥； “立方数起于丝发而渐增之变为面而迭之则成三乘尖锥； “三乘方数起于丝发而渐增之变为面而迭之成三乘尖锥，…… “从此递推可至无穷。然则多一乘之尖锥皆少一乘方渐增渐迭而成也。” 因此，“诸乘方皆有尖锥”， “三乘以上尖锥之底皆方，惟上四面不作平体，而成凹形。乘愈多，则 凹愈甚”（图1）。 “尖锥之算法”乃是 “以高乘底为实，本乘方数加1为法，除之得尖锥积”。 又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”， “诸尖锥既为平面，则可变为一尖锥”。 n 这样，对于一切自然数n，乘方数X都可用线段长表示，它们可以积迭 成n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线，高线和凹向的尖锥曲线组成。 乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图2）。 2 -8 2 -8 在《方圆阐幽》中，李善兰取X=10及X=2×10，用“分离元数法” 归纳得二项平方根展开式 2 ∞ (2n 其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。 在《对数探源》中，李善兰列出了十道命题，从各个方面描述对数合尖 锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，彼截线 与此截线可相为比例。”（图5） 即是说xy=xy，或xy=c（这里c=bh为常量）。然后，根据这些性质 |
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