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| 让数学思想方法“流淌”于课堂教学中 | 发布于:2014/11/22 | |
| 摘要：数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理的本质认识，是形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决数学问题的主线与灵魂。数学思想方法能促进学生更好地学习数学知识，培养学生的创造能力，让学生终身受益。本文结合“矩形与菱形的性质”这一教学内容，阐述了渗透六种数学思想与方法的做法。 关键词：数学思想方法 矩形 菱形 渗透 数学课程标准在“课程基本理念”部分指出：数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴藏的数学思想方法”。数学思想是数学课程中的重要内容，也成为了数学学习中“四基”目标中的一个。数学思想方法伴随着数学知识体系的建立而确立，贯穿于“数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践”的学习过程，集中体现了对数学本质的理解，是数学知识体系的灵魂，对提升学生的思维品质和数学学科素养有着举足轻重的作用。因此，教学中教师应当依托现行初中数学教材，以数学基本思想为统领，充分重视数学思想方法的渗透。下面笔者就结合苏教版八年级“矩形与菱形的性质”的教学来阐述如何渗透以下六种数学思想方法。 一、类比的思想与方法 不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对某一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比。类比的类型主要有：表层类比（形式或结构上的简单类比）；深层类比（方法或模式上的纵向类比）；沟通类比（各分科之间的类比）。类比推理，它是学生获取数学知识的主要方法之一。在探究矩形的性质时，可类比利用中心对称的性质研究平行四边形性质的方法，通过图形变换操作和合情推理去探索，活动分为以下两个层次。 第一层次：画出Rt△ABC关于点O对称的图形，得出四边形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心的结论。让学生理解：“把点B关于点O的对称点记为D，则△CDA可以看成是△ABC绕点O旋转180度得到的，从而判别四边形ABCD是中心对称图形，点O是它的对称中心”。学生通过探究可以发现：四边形ABCD是中心对称图形，是平行四边形，并且有一个角是直角，为引入矩形的概念做好铺垫。第二层次：让学生利用平行四边形活动框架，从矩形的定义与中心对称性两个方面类比平行四边形的性质进行探究、合情推理。再如，在学习矩形性质的基础上，可类似地进行菱形性质的探究，有效地促进知识点之间的融通，从而让学生能感受到类比是认识和研究新事物的重要思想方法。 二、特殊与一般的递进思想 由特殊到一般，再由一般到特殊，这种反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一。对数学而言，这就是人们常说的特殊与一般的数学思想。如学生在说明矩形的性质时往往只回答它的对角线相等、四个角是直角，此时教师可追问：矩形的边有何关系？通过交流，使学生明白：矩形作为有一个角是直角的平行四边形，首先具有平行四边形的所有性质，称之为一般性质；其次具有一般平行四边形所没有的特殊性质。通过上述问题让学生体会特殊与一般的关系，理清平行四边形与矩形的从属关系，体会在图形不断特殊化的过程中，图形的性质也越来越多。 三、几何直观 《数学课程标准》强调几何直观是学生解决数学问题的一种方法与手段，也是学生分析、解决数学问题必须具备的一种能力。几何直观所指有两点：一是几何，在这里，几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西和以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。学生掌握知识一般有一个从感性到理性的认知过程，借助于几何直观、几何解释，把复杂的数学问题变得简明、形象，为学生创造了一个自己主动思考的机会，通过自主探索、发现和再创造，体验和感受数学发现的过程，使思维转向更高级、更抽象的空间形式，对学生数学素养的提升有着积极且重要的意义。如在探究矩形性质时，通过演示平行四边形活动框架（对角线是两根橡皮筋），引导学生直观观察：改变平行四边形活动框架，它的边、角、对角线有怎样的变化？①随着∠ABC的变化，两条对角线的长度发生了怎样的变化？②当∠ABC为直角时，平行四边形变为矩形，它的两条对角线有怎样的数量关系？ ③当∠ABC为直角时，这个矩形四个角之间有怎样的数量关系？ 这里利用四边形的不稳定性，借助几何直观，引导学生通过合情推理去探索、发现结论。教学时要充分注意这一过程，始终把不同层次的感受和抽象体现在教学过程中，使学生不断感悟，发展学生的几何直观。 四、模型思想 《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”数学模型是一个含义很广的概念，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由此构成的算法系统都可称为数学模型，数学模型是用数学语言模拟现实的模型，即把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。众所周知，将未知的问题转化为已知的问题是学习数学的一个非常重要的方式，这其中已知的问题其实就是“模型”，因此“模型”随时都有，所以教学中时刻要发展学生的模型思想。在研究矩形与菱形的性质时就应引导学生始终抓住“平行四边形”这一模型。又如苏教版八年级课本93页例1：如图3-25，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，求对角线AC的长。 由于矩形的两条对角线把矩形分成若干个全等的直角三角形和等腰三角形，所以在研究与矩形有关的计算和证明时，常用到OA=OB=OC=OD及直角三角形的一些性质，而∠AOB=60°，这个问题自然而然就需要利用等边三角形这一“模型”来解决。同样菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形也常常需借助等腰三角形或直角三角形“模型”。 五、数形结合思想 数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。在数学教学中，由数想形和以形助数的数形结合思想，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，有利于加深学生对知识的识记和理解。在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象、引发联想、启迪思维、拓宽思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。例如苏教版八年级课本96页的练习2：菱形ABCD的周长为20cm，相邻两角的度数比为1：2.求菱形的较短的对角线长。 利用菱形的对边平行得到同旁内角互补这一数量关系，结合条件中“相邻两角的度数比为1：2”，得出∠B=60°，再借助图形中AB=BC这一等量关系，推理出△ABC为等边三角形，从而迅速找到解决问题的方法。 六、化归思想 “化归”是转化和归结的简称。解决数学问题的过程是创造性的思维活动过程，其重要的特点是思维的变通性和流畅性，当人们面对问题难以入手时，思维就不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉、容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的，这就是数学教学中常用的一种重要思想—化归。化归是分析问题解决问题的有效途径，是数学发现的重要策略和方法，有利于在解决问题的过程中思维通畅、方法得当，从而达到事半功倍的效果。常见的化归思路有化繁为简、化难为易、化未知为已知、几何代数问题互化和化抽象为具体等。如矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。再如苏教版八年级课本96页的例3：如图3-31，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O。①用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积S；②若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面积和周长。 由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形就可以将第一问中菱形的面积计算问题转化为两个等腰三角形或者四个全等的直角三角形面积和，当然也可以化归成以AC、BD为边的矩形来处理。而第二问中的周长则转化为边长，运用直角三角形的勾股定理来解决。 总之，在教学中教师要做一个“渗透”的有心人，把数学思想方法渗透到数学知识教学的每一个环节，将其作为教学中一个需要完成的目标，“流淌”于数学课堂内外，让学生终身受益。 （本文作者为江苏省宜兴外国语学校副校长）作者：罗永忠 来源：创新时代 |
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