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| 中外科学家发明家丛书：伽罗瓦 （十九） | 发布于:2014/09/23 | |
| k 2k 举一将 n个方程式写作一个的一组一次方程为例：x+ρx2+ρ x3 1 ＋……＋ρ（n-1）kx=r，③此处k的值可为0与n－1之间的任何整数，如 n k 当k＝0时，③就为 x+x+x＋……+x=r0 1 2 3 n 当k＝1时，③为 x 2 n-1 x+ρ2+ρx3+……＋ρ xn=r， 1 1 以下，依次类推。 因为一个方程式的最高次项系数若是1，则诸根之和等于方程式中第二 项的系数的负值，所以r之值可以直接从方程式的系数中求得。如果把置换 o （1 2……n3）用于③式的左端，③式左端为 k 2k （n-1)k x+ρx3+ρ x4+……+ρ x 2 1 所以说置换 （1 2 3……n） -k n 将r之值变为ρ rk。又因P＝1，故 k n -k n （r）＝（ρr）， k k n 所以置换 （1 2……n3）不变更r的值。同理，群中其它置换也不改 k n 变r的值。这就是说，所有r的值都可由根式得到。由③，可将x用ρ与r k 表示，则方程式③可用根式解。这样，就证明了：如果方程式在一个数域中 的群是元素个数为质数巡回正置换群，则此方程式一定能用根式解。 举例来说，方程式 3 x-3x+1＝0 在有理数域中的群是 1，（1 2 3），（1 3 2）。它是一个元素个数为 质数的巡回正置换群，所以可从x+x+x＝0， 1 2 3 2 x+ωx+ωx=r， 1 2 3 1 2 x+ωx+ωx＝r， 1 2 3 2 这三个一次方程式中解它。此处ω表示1的一个虚立方根，r与r可以 1 2 由数域中的数的根数得出。换句话说，如果把这种根数加入到数域中，则x 都存在于扩大的数域中。 在一般情况下，常可以 2 2 2 2 y=（x－x） （x－x）……（x -x）作第一个辅助方程式，其右 1 2 1 3 n-1n 端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话，那 么，上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式 2 x＋bx＋c＝0 的两个根x，x的差的平方是 1 2 2 2 2 （x-x）＝（x+x）－4xx＝b－4c，这恰是方程式的判别式。同样， 1 2 1 2 12 高次方程式的判别式也可从系数求得。 再设所要解的方程式是一般的三次方程式，将第一个辅助方程式的根加 入原数域后，方程的群为H，即一个元数为质数的巡回正置换群。这样，可 利用 x+x+x=-b， 1 2 3 2 2 x+ωx+ωx=r，x+ωx+ωx＝r， 1 2 3 1 1 2 3 2 这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r，r可由数域中数的根数 1 2 求得。x，x，x存在于这个最后经r，r的加入而扩大成的数域中。 1 2 3 1 2 这样就证明了：方程式在一个由其系数与1之n个n次根而决定的数域 中的群若是一个可解群，则此方程式是可以用根式解的。 伽罗瓦的群论，是解决数学问题的重要工具，它对于数学就如同语言对 于人的重要性一样。正像人们评价的，“无论在什么地方，只要能应用群论， 就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐”。“群的概念是近世纪科学 思想出色的新工具之一”。 |
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