| 中外科学家发明家丛书：伽罗瓦 （十八） |
发布于:2014/09/22 |
| 取 120°角来看假定此角位于一个半径是单位长的圆的中心，作出 cos40°来，则只要取OA＝cos40°，于是a就是一个40°的角，三等分120 °的作图就完成了。利用三角恒等式： 3 2cos3a＝8cosa-6cosa， 令x=2cosa，则上式化成 3 2cosa=x3-3x 3 因为3a＝120°， cos3a＝－1／2；上式可写作x-3x＋1＝0在半径 是单位长的圆中，可作OB＝1／2，于是∠AOC＝120°。 要解上面的方程式，必须把一个立方根加入于有理数域中。但一个立方 根是不能用直尺与圆规作出的，因此可知：用直尺与圆规三等分任意角是不 可能的。 用相似的方法，还可证明用直尺、圆规解决立方倍积问题也是不可能的。 7．伽罗瓦的鉴定是正确的 在解方程式时，可利用方程式的根与系数之间的关系。例如在二次方程 式 2 x+bx＋c=0 的两个根x1，x2中，可得 x＋x＝－b ① 1 2 与xx＝c ② 12 的关系。那么，能不能从这两个方程式中解x与x呢？不可以。因为如 1 2 果从①中得出x的值而后代入②中，结果是 1 2 x+bx2+c＝0， 2 这与原二次方程式丝毫没有分别。所以，这个方法行不通。但是，如果 能得到一对都是一次的方程式，则x和x就可求了。 1 2 首先设方程式 f（x）＝0 有n个相异的根，而且在由方程式的系数及1之n个n次根决定的数域 中，此方程式的群是一个元素个数为质数的巡回正置换群。其中，1之n个n 次根的含义是： 由1有三个立方根： 1 1 1 1 1，根式解。
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