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| 中外科学家发明家丛书：伽罗瓦 （十七） | 发布于:2014/09/21 | |
| 再取一般三次方程 3 2 ax＋bx＋cx＋d＝0 来看，因为它有三个根x，x，x，所以在一个含有它的系数的数域中， 1 2 3 它的群含有1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2），（31 3） 2 六个置换。此群的唯一极大不变真约群含有 1，（1 2 3），（1 3）三2 个置换。据此可知，组合因数是6／3＝2与 3／1＝3，两个都是质数。所以 凡三次方程式都是可用根式解的。 再看一般的四次方程式 4 3 2 ax＋bx＋cx＋dx＋e＝0 它在一个含有其系数的数域中的群元素个数是4！＝24。这个群的组合 因数是： 2，3，2，2。 这些都是质数，所以凡四次方程式也都可以用根式解。 对于一般的五次方程式，含有5！个置换，其组合的因数是2与5！／2 而5！／2不是质数，所以，一般的五次方程式不能用根式解。 如此，应用伽罗瓦群的理论，可以得到一个简单而有力的方法来决定一 个方程式能否用根式解。 6．用直尺与圆规的作图 伽罗瓦在发明了判别方程式能否用根式解的鉴定之后，又创造了如何求 一个能用根式解的方程式的根的方法，即利用一组“辅助方程式”，而这些 辅助方程式的次数则是原方程式的群的组合因数。 其具体方法是：先把第一个辅助方程式的根加入数域F中，然后假设数 域经第一个辅助方程式的根之加入而扩大了，并使分解因数的工作因之可以 再继续下去，令方程式在这扩大了的数域F中的群是H。再将第二个辅助方 1 程式的根加人F中，使方程式的群变为K，直到方程式在那个最后扩大成的 1 数域F中的群是1。而函数x不能被1中的置换变更它的值，所以 x必在 m 1 1 数域F中。同样，其余的根也都在F中。这样就可以得知什么样的数应加入 m m 原来的数域中，把方程式的群变为 1，从而决定方程式的根存在于怎样的数 3 域中。以方程式x-3x＋1=0 为例。此方程式在有理数域中的群由1，（ 1 2），（3 1 ）三3 2 个置换作成。这个群的极大不变真约群是1，组合因数是3，所以只有一个辅 助方程式，其次数是 3，这个辅助方程式的根含有一个立方根。所以这个立 方根必须加入数域中，才能使方程式的群变为 1，而原来的方程式的根可从 有理数域中的数及这个立方根单用有理运算得出。 只用直尺与圆规，能作直线和圆，这用代数表示是一次和二次方程式。 所以，求它们的交点，只需解一个二次方程式就可以把交点的座标用有理运 算和平方根表作系数的函数。因此，凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以 有限次的以加、减、乘、除和平方根表示。譬如有两线段a，b和单位长度， 可用直尺与圆规作出它们的和a＋b，差 a－b，积 ab，商 a／b以及这 些量的平方根如ab，b等。 在讨论一个作图只用直尺、图规是否可能时，必须作出一个表示此种作 图的代数学方程式。若此方程式在数域中能分解成单是一次和二次的代数 式，则一切实数根都能用直尺与圆规作出。即使方程式不能分解成上述情况， 只要它的实数根能用有限次的有理运算与平方根表作已知的几何量的函数， 那么，作图只用直尺、圆规也是可能的。 |
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