| 中外科学家发明家丛书：伽罗瓦 （十六） |
发布于:2014/09/20 |
| 1 2 将P（y）的各因子乘出来，就得到一个Y的多项式。假设P（y）在某一 数域中分解因数，包含v而在此数域中为不可约的部分是（Y－v）（Y－ v） 1 1 2 或 Y－（v＋v）Y＋vv在这部分中所含的v仅有vv。则将v，v互相 2 1 2 12 12 1 2 交换的x的置换成一群，这个群叫“方程式在这数域中的群”。 一般地说，一个方程式在一定数域中的群是由P（Y）中包含v的不可约 1 部分而决定的。将这个不可约部分记作G（y），则G（y）＝0，这称为“伽 罗瓦分解式”。 在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大， 可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。 明白什么是方程式在一个数域中的群，就可以去求它。例如二次方程式 X＋3X＋1= 0 2 有两个根x，x，可能的置换只有1和 （1 ）两种。所以2 它的群或者 1 2 含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。 以函数x－x为例，二次方程式 1 2 2 x＋bx＋c＝ 0 的两根之差是 x - x ＝ b2 - 4c 1 2 在此例中，规定b＝3，c＝1，则 x －x ＝ 5 1 2 如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以 群中必有一个置换能变更此函数的值，这就是（ 1 ）置换。则此方程式在2 有理数域中的群是由 1，（ 1 ）2 两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域，那么，在此数域中，所 以群中一切置换都不改变函数x-x的值，所以（1 ）不能在群中。此方2 1 2 程式在实数域中的群是由1一个置换作成的。 5．伽罗瓦的鉴定 伽罗瓦证明了：一个方程式在一个含有它的系数的数域中的群若是“可 解群”，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这样的条件下方程式才能 用根式解。 以一般二次方程 2 ax+ bx＋c＝0 为例，它的两个根是x，x。它在一个含有它的系数的数域中的群之元 1 2 素是1和 （1 ）。这个群的唯一的极大不变真约群是2 1，则此群的组合因 数是： ／21＝ 2，这是一个质数，因此，根据枷罗瓦的鉴定，凡二次方程 式都是可用根式解的。
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