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| 中外科学家发明家丛书：伽罗瓦 （十五） | 发布于:2014/09/19 | |
| （1）两个偶数的和还是偶数。 （2）0是主元素。 （3）一个正偶数有相应的负偶数作逆元素，而一个负偶数的逆元素是正 偶数。 （4）结合律成立。 所以，偶数群是整数群的约群。 伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。 在约群中，最重要的是“不变约群”，即一个约群中的任何元素应用原 来的群中任何元素的变形，[例如设有一个元素 （1 2），用另一个元素（1 2 3）去右乘它，再用（1 2 3）的逆元素（1 3 2）去左乘它，所得的结果是 （1 3 2）（1 2）（1 2 3）＝（2 3）， 这个结果 （2 ）就称为3 （1 ）应用2 （1 2 3）的变形。]若仍是约群 中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。 一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群，一个真约群必须比原 来的群小。但如果H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变 真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。 假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变 真的约群，……若将G的元素用H的元素个数去除，H的元素用K的元素个 数去除，……所得诸数，称为群G的“组合因数”。若这些组合因数都是质 数，则G是一个“可解数”。 在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素 （主元素例外）的乘幂。 如在群 1，（1 2），（31 3） 2 2 中，（1 2 3）＝（1 2）（13 2） 3 ＝（1 3） 2 3 （1 2）=（31 2） （31 2）（13 2）=13 此群中的元素都是（1 2）的乘幂。这种群，称为3 “巡回群”。 在一个置换群中，若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成 其他某个文字，则这个群称为“正置换群”。例如群 1，（1 2），（31）， 在 1中 x，变成x，在（1 2）中x3变成x，在（1 ）中32x 1 1 1 2 1 变成x……所以这是一个“巡回正置换群”。 3 4．一个方程式的群 对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。譬如三次方程式 3 2 ax＋bx＋cx＋d＝0， 假定它的三个根x，x，x是相异的。任意取一个这三个根的函数，如 1 2 3 xx＋x 12 3 在这个函数中，若把这些x互相替换，那么，会有六种置换。（1 2）一 类的置换为 xx＋x；（ 1 ）为3 xx＋x；（ 12）为3xx＋x。此 21 3 32 1 23 1 外，还有不动置换。也就是说共有： 1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2）（13 3）六个置换，2 即对于这三个x，一共有3！（表示3×2×1）种可能的置换。一般说，n！ 表示n（n－1（n－2）……1，所以n个x有n！种置换。于是，伽罗瓦得出结论，在函数v=mx+mx=mx+……mnxn中，当x作各种可能的置换时， 1 11 22 33 这函数就有n！个不同的值，用v，v，v，……vn！表示这些不同的值， 1 2 3 可作出式子P（y）=（Y-v）（Y-v）……（Y－vn！），其中Y是一个变数。 |
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