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| 中外科学家发明家丛书：伽罗瓦 （十四） | 发布于:2014/09/18 | |
| 正因为伽罗瓦把科学理想与社会理想结合起来，并为实现它们而奋斗， 所以他成了一位杰出的数学家和勇敢的革命者。可以说，伽罗瓦短暂的一生 是伟大的。 三、伽罗瓦与群论 群论这门数学在当代已经成为数学中的重要部分了，而其理论的应用、 发展应该首先归功于埃瓦里斯特·伽罗瓦。因为是伽罗瓦赋予群论以实在的 内容，建立起群论学并加以完善，从而改变了19世纪初叶，数学科学发展的 停滞状况，开创了新的繁荣时期。所以说，伽罗瓦对科学的重大贡献就在于 他对群论的贡献。因此，要了解伽罗瓦，就必须了解群论。 1．群的重要 解方程式是数学中一件重要的事情。代数方程式可以依他的次数来分 类。 一次方程式ax＋b＝0的解答很容易得出，是 x＝-b／a 二次方程式 2 ax+bx＋c＝0的解是 x＝（- b± b2 -4ac ）／2a 但是，三次方程式 3 2 ax＋bx＋cx＋d＝0 和四次方程式 4 3 2 ax+ bx＋cx＋ dx＋e＝ 0 的解法就比解一次、二次方程式难得多了，直到16世纪才有了解法。 当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。一般数学家虽都不会 解高于四次的方程式，却都相信一定是能办到的。直到19世纪，利用群论的 道理，才证明了这是不可能的事。因为一个问题能否解决要看对于解答所加 的限制条件而定。譬如 x+5＝3 如果允许x为负数的话，此方程可解；若限定x不能是负数，则此方程 式就不能解了。同样，假如x表示饼数，方程式 2x+3＝10 1 是可解的。但倘若x表示人数、这个方程式就不能解了，因为 x ＝3 （人） 2 没有意义。 再如，一个代数式可以分解因数或不可以分解因数要看是在什么数域对 它进行分解。如 2 x＋1 在实数域中是不可分解的，可是在复数域却是可分的，因为 2 x＋1=（x+i）（x-i）， 其中i＝ 例如： 在 （a）中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。 在 （b）中，主元素是1，因为任意一个有理数乘以1后的积还是自身。 在 （c）中，主元素是那个将x代作x，x代作x，x代作x的置换， 1 1 2 2 3 3 因为任何置换和自身结合的结果是不变的。 在（d）中，主元素是那个360°的旋转，因为系统中的任意一个旋转和 此旋转结合的结果仍为自身。 （3）每个元素必须有一个逆元素，即一个元素和其逆元素用系统中的运 算结合的结果是主元素。 例如： 在 （a）中，3的逆元素是-3，因为3加-3的和是0。 在 （b）中，a／b的逆元素是b／a，因为a／b和b／a相乘的积是1。 在（C）中，将x代作x，x代作x，x代作x的置换的逆元素是将x 1 2 2 3 3 1 2 代作x，x代作x，x代作x的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将 1 3 2 1 3 x代作x，x代作x，x代作x的置换。 2 2 3 3 1 1 在 （d）中，60°的旋转（按顺时针方向）的逆元素是一个-60°的旋转 （按逆时针方向）。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。 （4）结合律必须成立。 例如，设a，b，c是任意三个元素，又设运算用记号O表示，则结合律 指 （aOb）Oc＝aO（bOc） 应用到系统 （a）中，为 （3＋4）＋ 5＝3＋（4＋ 5） 所以结合律在 （a）中能成立。 对于一个系统，它是否成群，不但要看它的元素，还要看它的运算才能 决定。 3．群的重要性质 伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。 在表示置换时，为了方便起见而采取一种简单的记法，即在记x，x， 1 2 x时可将x省去，只用1，2，3来表示。例如一个将x代作x，x代作x， 3 1 2 2 3 x代作x的置换，可以简单的记作（ 1 2 3） 3 1 这个记号的意思是说： 1变作2，2变作3，3变作1。 换句话说，就是 x变作x，x变作x，x变作x。 1 2 2 3 3 1 同样，（1 3 2）则表示一个将x变作x，x变作x，x变作x的置换。 1 3 3 2 2 1 又如 （1 3）（2）或（1 3） 表示一个将x代作x，x代作x，x代作x的置换。 1 3 3 1 2 2 有时一个群的部分元素自己形成一群，这种群称为“约群”。例如，前 面（a）例中，一切整数对于加法而言，为一群。若单拿一切偶数来看，对于 加法，他们也成一群；因为群的四个性质它都适合： |
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