明安图的《割圆密率捷法》究竟隐藏着那些数学奥妙呢？ 《割圆密率捷法》共分 4 卷： 卷一《步法》：罗列出所得到的各无穷级数公式，其中公式（1）至公式

（3）是杜德美传进来的三个级数，分别叫做“圆径求周”、“弧背求正弦”

和“弧背求正矢”，这三个公式前边已经列出，这里不再重复。公式（4）至

公式（9）是明安图发现的六个无穷级数。这些级数都是弧、弦和正弦之间的

互求问题。这六个级数也各有名称。其中的“弧背”就是弧，“通弦”就是

弧所对的弦。
（4）弧背求通弦
C  2a  (2a)3  (2a)5  (2a)7  ;
4•3!r2 42 •5!r 4 43 •7!r 6
（5）孤背求矢
(2a)2 (2a)4 (2a)6
b     ;
4•2!r 42 •4!r3 43 •6!r5
（6）通弦求弧背
c3 32 c5 32 •52 c7
2a  c    43 •7!r6  ;
4•3!r2 42 •5!r4
（7）正弦求弦背
a  r sina (r sina)3   1 2 •32 (r sina)5
 r  r  ;

3!r
r 2 5!r4
（8）正矢求弧背
 a 12 (2rvers a ) 2 12 •22 (2rvers a )3 
 2rvers r r r 
a2  2r   ;
2! 4! 6!r
 
 
（9）矢求弧背
 8b (8b)2 12 •2 2 •(8b) 3 
(2a)2 r•    。
2! 4•4! 4 2 •6!r
 

如图 1，式中 r 为圆半径，C 为 AD 弧长，a 为 AC 弦长，2a 为 AD 孤长，b 为 BC 矢长。

以上，与杜德美传进来的三个合起来共九个无穷级数，后人通称“九术”。 九术中以（1），（2），（3），（7），（8）这 5 个公式为主要

公式。如分别以弧度x= ar 或x = 2vers ar 表示，则公式（2），（3），（7），

（8）即可化为现在通用的三角函数幂级数展开式（其中（2）式前已列出，

不再重复）：

versx  1 x2  1 x4  1 x6  ;

2 4! 6!
ascsinx  1 1 x3  12 •32 x5  12 •32 •52 x7  ;

3! 5! 7!
x 1 12 12 •22 12 •22 •32 
(arcvers )2  2 x  x2  x3  x4 。
2 2 4! 6! 8!
 

明安图在叙述完了“矢求弧背”术之后，在结论中表述了一种以直线求

圆线，以圆线求直线的思想，这种思想与西方的微积分具有相同的意义。这

时西方的微积分还没有被译成中文，明安图是独立地接近了微积分。

卷二《用法》：是各公式在数学和天文学上的应用；

卷三、卷四《法解》：阐述各公式的证明方法。

证明上述九个无穷级数，需要进行极为复杂的数值计算，明安图是通过

用三角变换的办法使计算简化。

明安图的三角变换方法，方便了论证，在中国数学领域中开辟了一条新

的道路。

陈际新认为，明安图在杜德美所传无穷级数外独树一帜，深入地研究了

无穷级数的展开，从而得到了优良的结果。

明安图在研究过程中，运用了严密的逻辑推理。他首先从“弧背求弦”

问题入手，逐步进行研究。

明安图把任意一段圆弧分成若干分弧，寻找本弧通弦和分弧通弦的关

系，创立了割圆连比例法和级数回求法这两种重要的数学方法，求得并证明

了上述九个无穷级数。

明安图的“割圆连比例法”就是把任意弧九等分，根据等腰相似三角形

对应边成比例的关系，得出一系列比例关系式，求出相应折线的长度，然后 用折线逼近圆弧，从折线与弦矢的关系导出弧与弧矢的关系（见图 5），把 “割圆连比例法”用于解决无穷级数的研究，是中国数学史上的创举。
明安图在推导求证过程中，动用并且发展了我国古代初步的极限概念。

一方面，他肯定弓形中的弧是曲线，而弦是直线，曲线和直线总是有区别的，

即使无限地分割下去，在极小的弓形中，弧也仍然是曲线，弦也仍然是直线，

二者不能混同起来；另一方面又指出，对弦无限分割之后，弧和弦都变得极

小而彼此接近，这样就可以从中得出彼此相求的方法。也就是说，他的具体

运算的着眼点在于推算无穷级数的各项系数。

级数回求法是一种求反函数展开式的有效方法。明安图的工作在数学原
理方面体现的是一种曲直互通的思想，体现的是从有限到无穷的认识上的飞
跃。
明安图在求证上述公式中，想了许多办法，避免繁杂的数值计算，但是
仍有相当多的计算，而且十分复杂，一般的是二三十位的数值计算，多的达
到三十六七位数字，然而，他的计算能力却是相当强的。