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| 中外科学家发明家丛书：祖冲之 （二） | 发布于:2013/01/25 | |
| 二、数学史上的创举——“祖率” 祖冲之是世界上第一位将圆周率准确地推算到小数点后七位数值的科学 家，并将这一纪录在世界上保持了一千年之久。 在祖冲之以前，我国在数学方面已经达到世界先进水平，涌现出许多杰 出的数学家和优秀的数学著作。早在原始社会末期，“龙山文化”的陶器上 已经出现了各种几何图案。商朝时期，已经开始在数学运算中采用十进位制， 这是世界上最早的进位制，它的采用大大方便了数学计算。春秋时代成书的 《周易》，是世界上第一本研究排列组合的书。到了战国时代，百家争鸣， 数学有了进一步的发展，出现了运用至今的“九九”乘法口诀；在几何学方 面，已普遍地运用尺规作图，从而促进了几何学的发展。同时，在诸子百家 的著作中，也提出了许多有价值的数学理论。例如：墨家学派的经典《墨子》 中，有不少地方涉及到几何学上的一些基本问题，对此它都准确地定义，其 准确程度与古代西方流行的欧几里德的《几何原本》不相上下。道家学派所 著的《庄子》中，提出了极限理论，其中的著名例证：“有一根一尺长的棍 子，每天截其一半，那永远也截不完”，至今仍被讲解数列极限所经常引用。 到了秦汉魏晋之际，随着封建经济的巨大发展，与之密切相关的数学也 有了长足的进步，涌现了一大批的数学著作和知名的数学家。其中最主要的 著作有《周髀算经》、《九章算术》和《海岛算经》。《周髀算经》成书的 年代不晚于公元前一世纪，作者已经不知道了，东汉著名数学家赵君卿为之 作过注，其主要成就在于提出了著名的“勾股定理”及采取了较为复杂的分 数运算等方面。《九章算术》的成书年代同《周髀算经》大约同时，最初的 作者是谁也已不知道了，许多数学家都对此书进行过增订删补，如西汉数学 家张苍、耿寿昌、许商、杜忠等，三国时期著名数学家刘徽为之作了注。这 部著作集先秦、秦汉时期数学优秀成果之大成，对以后中国古代数学产生了 非常深刻的影响。全书分为方田 （主要是计算田亩的方法）、少广（主要是 开平方和开立方的方法）、商功（主要是计算各种体积，解决筑城、兴修水 利等建筑工程中的实际问题）、粟米（主要是计算各种粮食间的换算方法）、 差分 （主要是等级式的计算方法）、均输（主要是计算征收和运输粮食的方 法）、盈虚 （主要是统计有关生产收入的问题）、勾股（主要是勾股定理的 实际运用方法）等九章，共二百四十六个问题及每个问题的解法。这部书从 数学成就上看，首先应该提到的是：其中记载了当时世界上最先进的分数四 则运算和比例算法。另外，书中记载的开平方和开立方的方法，实际上就是 求解一元二次方程；而为解方程而联立方程组的解法，比欧洲同类算法早出 一千五百多年。书中还在世界数学史上第一次提出了负数概念和正负数的加 减法运算法则。 《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，它的影响还远及国外，朝鲜、日本都曾把《九章算术》作为教科书，其中的某些计算 方法，还传到了印度、阿拉伯和欧洲。 《海岛算经》的作者是三国时期的刘徽。在这部书中，他主要讲述了利 用标杆进行两次、三次及至四次测量来解决各种测量数学的问题，其在此方 面的造诣之深，远远超越了当时的西方数学家。而这种测量数学，正是地图 学的数学基础。 除了以是三部著作外，较为重要的数学著作还有《孙子算经》、《五曹 算经》、《夏侯阳算经》等。 祖冲之经过刻苦钻研，继承和发展了前辈科学家的优秀成果。他对于圆 周率的研究，就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献。祖冲之对圆周率数 值的精确推算值，用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。 什么是圆周率呢？圆有它的圆周和圆心，从圆周任意一点到圆心的距离 称为半径，半径加倍就是直径。直径是一条经过圆心的线段，圆周是一条弧 线，弧线是直线的多少倍，在数学上叫做圆周率。简单说，圆周率就是圆的 周长与它直径之间的比，它是一个常数，用希腊字母“π”来表示。在天文 历法方面和生产实践当中，凡是牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推 算。 如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。我国 古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。在《周髀算经》和《九章 算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。 此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。西汉末 年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛 （一种量器）的过程中，发现直径为一、 圆周为三的古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为 3.1547。东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时，数学家 王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋之际的著名数学家刘徽在为《九章 算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术。他设圆的半径为1， 把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用勾股定理求出这个内接正六边形的 周长；然后依次作内接十二边形，二十四边形……，至圆内接一百九十二边 形时，得出它的边长和为6.282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边 长就越接近圆的实际周长，所以此时圆周率的值为边长除以2，其近似值为 3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。在割圆术中，刘徽已 经认识到了现代数学中的极限概念。他所创立的割圆木，是探求圆周率数值 的过程中的重大突破。后人为纪念刘徽的这一功绩，把他求得的圆周率数值 称为“徽率”或称“徽术”。 刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延 22 宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428 ；皮延宗求出的圆周率值为 ≈ 7 3.14。以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献，可是和祖冲之 的圆周率比较起来，就逊色多了。 祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘 徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。 它研究和计算的结果，证明圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间； 22 为了社会上的使用便利起见，他又用 （约等于3.14 ）作为“约率”（比 7 355 较简单的数）和 （约等于3．1415927）称为“密率”（比较精密的数） 133 来表示。他成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数 字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学 家维叶特所打破。祖冲之提出的“密率”，也是直到一千年以后，才由德国 355 的奥托和荷兰的安托尼兹所重新得到。但是在西方数学史上，却把π= 133 称之为“安托尼兹率”，还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西 方数学传入中国后伪造的。这是有意的捏造。记载祖冲之对圆周率研究情况 的古籍是成书于唐代的史书《隋书》，而现传的《隋书》有元朝大德丙午年 （公元1306年）的刊本，其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率 的记载，事在明朝末年前三百余年。而且还有不少明朝之前的数学家在自己 的著作中引用过祖冲之的圆周率，这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方 面卓越的成就。 那么，祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢？可以肯定，他的成就 是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看，祖冲之很可能是 继承了刘徽所创立和首先使用的割圆术，并且加以发展，因此获得了超越前 人的重大成就。在前面，我们提到割圆术时已经知道了这样的结论：圆内接 正n边形的边数越多，各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是 内接的，又不可能把边数增加到无限多，所以边长总和永远小于圆周。 祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割 计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但 他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切 割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求 得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到 三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已 不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大 22 于3.1415926 ，圆周率的实际数值就在其中。祖冲之提出的“约率” 和 7 355 “密率” 虽然均比圆周率的实际数值为大，但前者约大千分之四，后者 133 大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。 要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道， 在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是 一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。 通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在 纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计 算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹 被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的 数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多 个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计 算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些 计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝 时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重 新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地 重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。 355 “祖率”——π= ，让我们记住这个数字，它是祖冲之在数学方面 133 的杰出贡献。这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。 祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。 1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡 献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖 冲之环形山”。 祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实 践的需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容 积的计算。 古代有一种量器叫做“ （釜fǔ）”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状， 那这种量器的容积有多大呢？要想求出这个数值，就要用到圆周率。祖冲之 利用他的研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉 量”（另一种量器，与上面提到的 都是类似于现在我们所用的“升”等量 器，但它们都是圆柱体。），由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够 准确，所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在， 利用“祖率”校正了数值。 以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。 |
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