的径率即圆周率，其值为               40       π=           = 3.1426968             92 + 92 他把这个数值称之为“周公密率”。
      由此看出，朱载堉的“周公密率”远不如祖冲之推算出的圆周率精确。 因此，他的关于律管的圆周、面积和容积的计算值也就有误差。可是，在实 际使用上，在以寸为单位测量时，毫位数（小数点下三位数）已是估计值了。 因此，朱载堉的圆周率数值并不影响他制造发音准确的律管。
      朱载堉在数学研究过程中，使用算盘完成了包括开方在内的大量计算。 数学与算盘是他从事乐律研究的翅膀。他完成十二平均律之时，也就是他运 用算盘进行开方运算成功之日。
      一尺为九寸，一寸为九分，称为九进尺。这种尺，一尺中共81分。在朱 载堉的《乐律全书》中称它为“纵黍律尺”。据传说，古代人以黍粒纵排81 粒，刚好为一乐律尺。一尺为十寸，一寸为十分，称为十进尺。这种尺，一 尺中共有100分。在朱载堉的《乐律全书》中称它为“横黍度尺”。因为它 是以黍粒横排百粒，其长度刚好与日常用尺相同。传说，在先秦时期，日常 用尺与乐尺相等长度。也就是，一纵黍律尺等于一横黍度尺，这两种尺的长 度相同而进位不同。
       《乐律全书》中指出了三种不同进位尺：横黍尺即平常十进尺；纵黍尺 即九进尺，斜黍尺即混合进位尺。它是以斜排黍粒90粒而得到的一种尺，称 为“斜黍九十分尺”。它的尺单位长度与横黍尺、纵黍尺相等，但尺以下各 单位为每尺九寸，每寸十分。朱载堉在这里的数学贡献是用算盘完成了九进 制和十进制的小数换算，在数学史上是一项开创性的工作。
      朱载堉的最后一项数学工作是他找到了计算等比数列的方法，并成功地 将它应用于求解十二平均律。这一点在数学史和律学史上都是有意义的。朱 载堉在《律学新说》和《律吕精义》两书中是采用一种数学表达方式来叙述 十二平均律的，这就是：将八度音程比值2进行12次方根运算，第12次方 根值即是十二平均律的半音音程；既求得半音音程，那么，只要将起始音音 高除以半音音程值，连续作这样的12次运算，就得到了十二平均律的各个音 高值。实际上，这就是在八度中构成等比数列的方法。