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| 模形式第2版 | 发布于:2015/12/25 | |
| 本书是关于模形式经典理论的引论，大体上定位于研究生教材的水平。它的前身是作者2004-2007期间在牛津大学和布里斯托尔（Bristol）大学等院校为研究生和大学高年级学生讲授模形式课程的讲稿。作者建议了一些不同的教学方案，以使本书能适应不同教学对象的需要。 本书正文含9章，现版本中最后两章是新增加的。1.历史概观。简要地叙述了模形式理论的5个发展阶段：18世纪（序幕），19世纪（经典时期），20世纪前半叶（算术应用），20世纪后半叶（与椭圆曲线的连接），21世纪（Langlands纲领）；2.模形式引论。给出基本概念和结果，如全模群SL2（）的模形式和Eisenstein级数，同余子群的模形式和Eisenstein级数，拟模形式，模形式的导数，等等；3.维数有限性结果。应用模形式的复解析性质给出模形式空间维数的有限性定理；4.模形式的算术。研究模形式的数论性质，特别给出与Hecke算子有关的重要结果；5.模形式的应用。这是本书的重点之一，给出前述（2-4章）的理论的一些经典应用，如圆周率π的逼近，Picard小定理的证明，Ramanujan型恒等式的证明，椭圆曲线与Fermat大定理，等等；并且结合应用补充了一些前文未涉及的基础理论，如模函数，CM模形式，缺项模形式等；6.特征p模形式。包括经典方法，基本结果和计算；7.模形式的计算。这是本书的另一个重点。论述了与模形式有关的计算的理论分析和具体实施，是计算数论的重要组成部分；8.模形式的未来；9.模形式的课题。第8-9章是为对模形式感兴趣的读者而设，提供了进一步的文献，建议了若干研究方向。第2-8章设置了一定数量的习题。书末有3个附录，包括经典模形式计算的Magma和Sage码，以及部分习题的解答或提示。 本书论述比较简明，但推理和计算都不失细致。与其它同类主题的论著比较，本书在给出基本理论的同时，更为关注模形式的计算和应用，力求在理论和计算两个方面的平衡。本书可作为数论等领域的研究人员，研究生和大学数学系高年级学生的参考书。 朱尧辰，研究员 （中国科学院应用数学研究所）来源：国外科技新书评介 |
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