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这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根， 就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。
      李善兰说：
       “任取一数，欲辨是数根否，古无法焉，”他“精思既久，待考之法四”， 即：
      第一：屡乘求一法，
      第二：天元求一法，
      第三：小数回环法，
      第四：准根分级法，                                                    d      用以对已给的数N，找出最小的指数d，使a-1能被N整除，这里a是 与N互素的任何自然数。
      李善兰证明了著名的费马素数定理（1640），并且指出它的逆定理不真。
            d 亦即，若a-1能被 N整除，而 N是素数，则N-1能被d整除；但d能除尽 N-1，未必N一定是素数。
      李善兰还进一步指出，若N非素数而d也能整除N-1，则N的因整必具 K＋1的形式，内p为能除尽d的数，k为自然数。只有任何具有k+1形式  p                                                                    p 的数都又能除尽N时，N才肯定是素数。
                              八、其它数学著作
      李善兰在他所著的《椭圆正术解》中解释了徐有壬《椭圆正术》中行星 椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算法。
      李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解开普勒方程。